九章算術(shù)卷第八 方程
作者：古本晉劉徽注〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。方程術(shù)曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。〔二〕今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十斗。下禾八秉，益實一斗與上禾二秉，而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉實一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉實五十二分斗之四十一。術(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實一斗者，其實過一十斗也。益實一斗者，其實不滿一十斗也。
〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
荅曰：上禾一秉實二十五分斗之九，
中禾一秉實二十五分斗之七，
下禾一秉實二十五分斗之四。術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。
正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！菜摹辰裼猩虾涛灞?，損實一斗一升，當(dāng)下禾七秉。上禾七秉，損實二斗五升，當(dāng)下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉五升，
下禾一秉二升。術(shù)曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉負(fù)，損實一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉負(fù)，損實二斗五升正。以正負(fù)術(shù)入之?！参濉辰裼猩虾塘瑩p實一斗八升，當(dāng)下禾一十秉。下禾十五秉，損實五升，當(dāng)上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？荅曰：
上禾一秉實八升，
下禾一秉實三升。
術(shù)曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉負(fù)，損實一斗八升正。次置上禾五秉負(fù)，下禾一十五秉正，損實五升正。以正負(fù)術(shù)人之?！擦辰裼猩虾倘?，益實六斗，當(dāng)下禾十秉。下禾五秉，益實一斗，當(dāng)上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉實八斗，
下禾一秉實三斗。
術(shù)曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉負(fù)，益實六斗負(fù)。次置上禾二秉負(fù)，下禾五秉正，益實一斗負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔七〕今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問牛羊各直金幾何？
荅曰：
牛一，直金一兩、二十一分兩之一十三，
羊一，直金二十一分兩之二十。
術(shù)曰：如方程?！舶恕辰裼匈u牛二、羊五，以買十三豕，有余錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？
荅曰：
牛價一千二百，
羊價五百，豕價三百。
術(shù)曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次牛五負(fù)，羊六正，豕八正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔九〕今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。并燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何？
荅曰：
雀重一兩、一十九分兩之十三，
燕重一兩、一十九分兩之五。
術(shù)曰：如方程，交易質(zhì)之，各重八兩。
〔一０〕今有甲乙二人持錢不知其數(shù)。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。問甲、乙持錢各幾何？
荅曰：
甲持三十七錢半，乙持二十五錢。術(shù)曰：如方程，損益之?！惨灰弧辰裼卸R、一牛價過一萬，如半馬之價。一馬、二牛價不滿一萬，如半牛之價。問牛、馬價各幾何？
荅曰：馬價五千四百五十四錢、一十一分錢之六，牛價一千八百一十八錢、一十一分錢之二。
術(shù)曰：如方程，損益之。
〔一二〕今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？
荅曰：
武馬一匹力引二十二石、七分石之六，
中馬一匹力引十七石、七分石之一，下馬一匹力引五石、七分石之五。
術(shù)曰：如方程各置所借，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一三〕今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？
荅曰：井深七丈二尺一寸。
甲綆長二丈六尺五寸，
乙綆長一丈九尺一寸，
丙綆長一丈四尺八寸，
丁綆長一丈二尺九寸，
戊綆長七尺六寸。
術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步，實各不滿斗。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實滿斗。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何？
荅曰：
白禾一步實一百一十一分斗之三十三，
青禾一步實一百一十一分斗之二十八，
黃禾一步實一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步實一百一十一分斗之一十。
術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，
丙禾一秉重二十三分石之十。
術(shù)曰：如方程，置重過於石之物為負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔一六〕今有令一人、吏五人、從者一十人，食雞一十；令一十人、吏一人、從者五人，食雞八；令五人、吏一十人、從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？
荅曰：
令一人食一百二十二分雞之四十五，
吏一人食一百二十二分雞之四十一，
從者一人食一百二十二分雞之九十七。術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一七〕今有五羊、四犬、三雞、二兔，直錢一千四百九十六；四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五；三羊、一犬、七雞、五兔，直錢九百五十八；二羊、三犬、五雞、一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？
荅曰：
羊價一百七十七，
犬價一百二十一，
雞價二十三，
兔價二十九。
術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一八〕今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五。問一斗直幾何？
荅曰：
麻一斗七錢，
麥一斗四錢，
菽一斗三錢，
荅一斗五錢，
黍一斗六錢。
術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
荅曰：
上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。方程術(shù)曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。〔二〕今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十斗。下禾八秉，益實一斗與上禾二秉，而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉實一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉實五十二分斗之四十一。術(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實一斗者，其實過一十斗也。益實一斗者，其實不滿一十斗也。
〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
荅曰：上禾一秉實二十五分斗之九，
中禾一秉實二十五分斗之七，
下禾一秉實二十五分斗之四。術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。
正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！菜摹辰裼猩虾涛灞?，損實一斗一升，當(dāng)下禾七秉。上禾七秉，損實二斗五升，當(dāng)下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉五升，
下禾一秉二升。術(shù)曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉負(fù)，損實一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉負(fù)，損實二斗五升正。以正負(fù)術(shù)入之?！参濉辰裼猩虾塘瑩p實一斗八升，當(dāng)下禾一十秉。下禾十五秉，損實五升，當(dāng)上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？荅曰：
上禾一秉實八升，
下禾一秉實三升。
術(shù)曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉負(fù)，損實一斗八升正。次置上禾五秉負(fù)，下禾一十五秉正，損實五升正。以正負(fù)術(shù)人之?！擦辰裼猩虾倘?，益實六斗，當(dāng)下禾十秉。下禾五秉，益實一斗，當(dāng)上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何？
荅曰：
上禾一秉實八斗，
下禾一秉實三斗。
術(shù)曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉負(fù)，益實六斗負(fù)。次置上禾二秉負(fù)，下禾五秉正，益實一斗負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔七〕今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問牛羊各直金幾何？
荅曰：
牛一，直金一兩、二十一分兩之一十三，
羊一，直金二十一分兩之二十。
術(shù)曰：如方程?！舶恕辰裼匈u牛二、羊五，以買十三豕，有余錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？
荅曰：
牛價一千二百，
羊價五百，豕價三百。
術(shù)曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次牛五負(fù)，羊六正，豕八正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔九〕今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。并燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何？
荅曰：
雀重一兩、一十九分兩之十三，
燕重一兩、一十九分兩之五。
術(shù)曰：如方程，交易質(zhì)之，各重八兩。
〔一０〕今有甲乙二人持錢不知其數(shù)。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。問甲、乙持錢各幾何？
荅曰：
甲持三十七錢半，乙持二十五錢。術(shù)曰：如方程，損益之?！惨灰弧辰裼卸R、一牛價過一萬，如半馬之價。一馬、二牛價不滿一萬，如半牛之價。問牛、馬價各幾何？
荅曰：馬價五千四百五十四錢、一十一分錢之六，牛價一千八百一十八錢、一十一分錢之二。
術(shù)曰：如方程，損益之。
〔一二〕今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？
荅曰：
武馬一匹力引二十二石、七分石之六，
中馬一匹力引十七石、七分石之一，下馬一匹力引五石、七分石之五。
術(shù)曰：如方程各置所借，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一三〕今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？
荅曰：井深七丈二尺一寸。
甲綆長二丈六尺五寸，
乙綆長一丈九尺一寸，
丙綆長一丈四尺八寸，
丁綆長一丈二尺九寸，
戊綆長七尺六寸。
術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步，實各不滿斗。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實滿斗。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何？
荅曰：
白禾一步實一百一十一分斗之三十三，
青禾一步實一百一十一分斗之二十八，
黃禾一步實一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步實一百一十一分斗之一十。
術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，
丙禾一秉重二十三分石之十。
術(shù)曰：如方程，置重過於石之物為負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔一六〕今有令一人、吏五人、從者一十人，食雞一十；令一十人、吏一人、從者五人，食雞八；令五人、吏一十人、從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？
荅曰：
令一人食一百二十二分雞之四十五，
吏一人食一百二十二分雞之四十一，
從者一人食一百二十二分雞之九十七。術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一七〕今有五羊、四犬、三雞、二兔，直錢一千四百九十六；四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五；三羊、一犬、七雞、五兔，直錢九百五十八；二羊、三犬、五雞、一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？
荅曰：
羊價一百七十七，
犬價一百二十一，
雞價二十三，
兔價二十九。
術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。
〔一八〕今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五。問一斗直幾何？
荅曰：
麻一斗七錢，
麥一斗四錢，
菽一斗三錢，
荅一斗五錢，
黍一斗六錢。
術(shù)曰：如方程，以正負(fù)術(shù)入之。