緝古算經(jīng)
作者：王孝通假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小余一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？（推朔夜半月度，舊術(shù)要須加時日度。自古先儒雖復(fù)修撰改制，意見甚眾，并未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐后代無人知者。今奉敕造歷，因即改制，為此新術(shù)。舊推日度之術(shù)，巳得朔夜半日度，仍須更求加時日度，然知月處。臣今作新術(shù)，但得朔夜半日度，不須加時日度，即知月處。此新術(shù)比于舊術(shù)，一年之中十二倍省功，使學(xué)者易知）
答曰：在斗四度七百分度之五百三十。
術(shù)曰（推朔夜半月度，新術(shù)不復(fù)加時日度，有定小余乃可用之）：以章歲減朔月行定分，余以乘朔日定小余，滿日法而一，為先行分。不盡者，半法已上收成一，已下者棄之。若先行分滿日行分而一，為度分，以減朔日夜半日所在度分，若度分不足減，加往宿度；其分不足減者，退一度為行分而減之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入歷當(dāng)月行定分，即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一，為度。凡日一日行一度。然則章歲者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均輸篇》有犬追兔術(shù)，與此術(shù)相似。彼問：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，問幾何步追及？答曰：二百五十步追及。彼術(shù)曰：以兔走減犬走，余者為法。又以犬走乘兔先走，為實。實如法而一，即得追及步數(shù)。此術(shù)亦然。何者？假令月行定分九千，章歲七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行數(shù)相減，余八千三百分者，是日先行之?dāng)?shù)。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一萬，即相及定分，此乃無對為數(shù)。其日法者，亦是相及之分。此又同數(shù)，為有八千三百，是先行分也。斯則異矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之時日在月前、月在日后，以日月相去之?dāng)?shù)四千一百五十減日行所在度分，即月夜半所在度分也）。
假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉(xiāng)，乙縣四十三鄉(xiāng)，每鄉(xiāng)別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉(xiāng)人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問：臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？
答曰：
臺高一十八丈
上廣七丈，
下廣九丈，
上袤一十丈，
下袤一十四丈；
甲縣給高四丈五尺，
上廣八丈五尺，下廣九丈，
上袤一十三丈，下袤一十四丈；
乙縣給高一十三丈五尺，
上廣七丈，下廣八丈五尺，
上袤一十丈，
下袤一十三丈；
羨道高一十八丈，
上廣三丈六尺，
下廣二丈四尺，
袤一十四丈；
甲縣鄉(xiāng)人給高九丈，
上廣三丈，
下廣二丈四尺，袤七丈；
乙縣鄉(xiāng)人給高九丈，上廣三丈六尺，下廣三丈，袤七丈。
術(shù)曰：以程功尺數(shù)乘二縣人，又以限日乘之，為臺積。又以上下袤差乘上下廣差，三而一，為隅陽冪。以乘截高，為隅陽截積。又半上下廣差，乘斬上袤，為隅頭冪。以乘截高，為隅頭截積。并二積，以減臺積，余為實。以上下廣差并上下袤差，半之，為正數(shù)，加截上袤，以乘截高，所得增隅陽冪加隅頭冪，為方法。又并截高及截上袤與正數(shù)，為廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得臺下廣及上下袤、高。
求均給積尺受廣袤，術(shù)曰：以程功尺數(shù)乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。三因之，又以高冪乘之，以上下廣差乘袤差而一，為實。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即乙高。以減本高，余即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙高，以本高而一，所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上廣、袤即乙下廣、袤，臺上廣、袤即乙上廣、袤。其后求廣、袤，有增損者，皆放此（此應(yīng)六因乙積，臺高再乘，上下廣差乘袤差而一。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。以上廣之高乘上袤之高，為小冪二。因下袤之高，為中冪一。凡下袤、下廣之高，即是截高與上袤與上廣之高相連并數(shù)。然此有中冪定有小冪一。又有上廣之高乘截高，為冪一。又下廣之高乘下袤之高，為大冪二。乘上袤之高為中冪一。其大冪之中又小冪一，復(fù)有上廣、上袤之高各乘截高，為中冪各一。又截高自乘，為冪一。其中冪之內(nèi)有小冪一。又上袤之高乘截高，為冪一。然則截高自相乘，為冪二，小冪六。又上廣、上袤之高各三，以乘截高，為冪六。令皆半之，故以三乘小冪。又上廣、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，諸冪乘截高為積尺）。
求羨道廣、袤、高，術(shù)曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉(xiāng)，又六因，為積。又以道上廣多下廣數(shù)加上廣少袤，為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，為下廣少高。以乘下廣少袤，為隅陽冪。又以下廣少上廣乘之，為鱉隅積。以減積，余三而一，為實。并下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下廣少高加之，為廉法，從。開立方除之，即下廣。加廣差，即上廣。加袤多上廣于上廣，即袤。加高多袤，即道高。求羨道均給積尺甲縣受廣、袤，術(shù)曰：以均賦常積乘甲縣上十三鄉(xiāng)，又六因，為積。以袤再乘之，以道上下廣差乘臺高為法而一，為實。又三因下廣，以袤乘之，如上下廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘甲袤，本袤而一，以下廣加之，即甲上廣。又以臺高乘甲袤，本袤除之，即甲高。假令筑堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少于西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多于東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當(dāng)四，下山六當(dāng)五，水行一當(dāng)二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，并每人一日自穿、運、筑程功，及堤上、下高、廣各幾何？
答曰：
一人一日自穿、運、筑程功四尺九寸六分；
西頭高三丈四尺一寸，
上廣八尺，
下廣七丈六尺二寸，
東頭高三尺一寸，上廣八尺，
下廣一丈四尺二寸，
正袤四十八丈，斜袤四十八丈一尺；
甲縣正袤一十九丈二尺，
斜袤一十九丈二尺四寸，
下廣三丈九尺，
高一丈五尺五寸；
乙縣正袤一十四丈四尺；
斜袤一十四丈四尺三寸，
下廣五丈七尺六寸，
高二丈四尺八寸；
丙縣正袤九丈六尺，
斜袤九丈六尺二寸，
下廣七尺，
高三丈一尺；
丁縣正袤四丈八尺，
斜袤四丈八尺一寸，
下廣七丈六尺二寸，
高三丈四尺一寸。
求人到程功運筑積尺，術(shù)曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟躕之間十加一，載輸一十四步，一返計一百二十四步。以古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，為實。卻以一返步為法。除，得自運土到數(shù)也。又以一到負土數(shù)乘之，卻以穿方一尺土數(shù)除之，得一人一日運動積。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土數(shù)除之，為法。除之，得穿用人數(shù)。復(fù)置運功積，以每人一日常積除之，得筑用人數(shù)。并之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。
求堤上、下廣及高、袤，術(shù)曰：一人一日程功乘總?cè)?，為堤積。以高差乘下廣差，六而一，為鱉冪。又以高差乘小頭廣差，二而一，為大臥塹頭冪。又半高差，乘上廣多東頭高之?dāng)?shù)，為小臥塹頭冪。并三冪，為大小塹鱉率。乘正袤多小高之?dāng)?shù)，以減堤積，余為實。又置半高差及半小頭廣差與上廣多小頭高之?dāng)?shù)，并三差，以乘正袤多小頭高之?dāng)?shù)。以加率為方法。又并正袤多小頭高、上廣多小高及半高差，兼半小頭廣差加之，為廉法，從。開方立除之，即小高。加差，即各得廣、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，并，而開方除之，即斜袤。求甲縣高、廣、正、斜袤，術(shù)曰：以程功乘甲縣人，以六因取積，又乘袤冪。以下廣差乘高差為法除之，為實。又并小頭上下廣，以乘小高，三因之，為垣頭冪。又乘袤冪，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，得小頭袤，即甲袤。又以下廣差乘之，所得以正袤除之，所得加?xùn)|頭下廣，即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤，以正袤除之，以加?xùn)|頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤東頭高減甲高，余自乘，并二位，以開方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣為后小高、主廉母自乘，為方母。廉母乘方母，為實母（此平堤在上，羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝，中一塹堵。今以袤再乘六因積，廣差乘袤差而一，得截鱉腝袤，再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因小頭下廣，大袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法。又并小頭上下廣，又三之，以乘小頭高為頭冪，意同六除。然此頭冪，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今還依數(shù)乘除一頭冪，為從。開立方除之，得截袤）。
求堤都積，術(shù)曰：置西頭高，倍之，加?xùn)|頭高，又并西頭上下廣，半而乘之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又并東頭上下廣，半而乘之。并二位積，以正袤乘之，六而一，得堤積也。
假令筑龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共筑。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。答曰：
高三丈，
上廣三丈四尺，下廣一丈八尺，
袤六丈六尺；
甲縣高一丈五尺，
袤三丈三尺，
上廣二丈一尺；
乙縣高二丈一尺，
袤一丈三尺二寸，
上廣二丈二尺二寸；
丙縣高三丈，袤一丈九尺八寸，
上廣二丈四尺。
求龍尾堤廣、袤、高，術(shù)曰：以程功乘總?cè)?，為堤積。又六因之，為虛積。以少高乘少袤，為隅冪。以少上廣乘之，為鱉隅積。以減虛積，余，三約之，所得為實。并少高、袤，以少上廣乘之，為鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又三除少上廣，以少袤、少高加之，為廉法，從。開立方除之，得下廣。加差，即高、廣、袤。
求逐縣均給積尺受廣、袤，術(shù)曰：以程功乘當(dāng)縣人，當(dāng)積尺。各六因積尺。又乘袤冪。廣差乘高，為法。除之，為實。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加末廣，即甲上廣。其甲上廣即乙末廣，其甲高即垣高。求實與都廉，如前。又并甲上下廣，三之，乘甲高，又乘袤冪，以法除之，得垣方，從。開立方除之，即乙袤。余放此（此龍尾猶羨除也。其塹堵一，鱉腝一，并而相連。今以袤再乘積，廣差乘高而一，所得截鱉腝袤再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法）。
假令穿河，袤一里二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土于河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、筑，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，并漘上廣各多少？
答曰：漘上廣五丈八尺二寸一分；
甲郡正袤一百四十四丈，
斜袤一百四十四丈三尺，
上廣二十六丈四寸，深一十一丈一尺六寸；乙郡正袤一百一十五丈二尺，
斜袤一百一十五丈四尺四寸，
上廣四十丈九尺二寸，
深一十八丈六尺；
丙郡正袤五十七丈六尺，斜袤五十七丈七尺二寸，
上廣四十八丈三尺六寸，
深二十二丈三尺二寸，
丁郡正袤二十八丈八尺，
斜袤二十八丈八尺六寸，上廣五十二丈八寸，
深二十四丈一尺八寸。
術(shù)曰：如筑堤術(shù)入之（覆堤為河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，為積。又六因，以乘袤冪。以上廣差乘深差，為法。除之，為實。又并小頭上、下廣，以乘小頭深，三之，為垣頭冪。又乘袤冪，以法除之，為垣方。三因小頭上廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，即得小頭袤，為甲袤。求深、廣，以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭上廣，即甲上廣。以小頭深減南頭深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而開方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、廣為后小深、廣，準甲求之，即得。
求漘上廣，術(shù)曰：以程功乘總?cè)耍忠韵奕粘酥?，為積。六因之，為實。以正袤除之，又以高除之，所得以下廣減之，余又半之，即漘上廣。
假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多于上廣一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負、筑，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？
答曰：
窖上廣八丈，
上袤九丈，
下廣一十丈，
下袤一十二丈，
深三丈；
甲郡八千七十二人，深一十二尺，下袤一十丈二尺，廣八丈八尺；
乙郡七千二百七十二人，
深九尺，
下袤一十一丈一尺，
廣九丈四尺；
丙郡五千四百七十三人，
深六尺，下袤一十一丈七尺，
廣九丈八尺；丁郡二千九百三十三人，
深三尺，
下袤一十二丈，
廣一十丈。求窖深、廣、袤，術(shù)曰：以斛法乘總粟，為積尺。又廣差乘袤差，三而一，為隅陽冪。乃置塹上廣，半廣差加之，以乘塹上袤，為隅頭冪。又半袤差，乘塹上廣，以隅陽冪及隅頭冪加之，為方法。又置塹上袤及塹上廣，并之，為大廣。又并廣差及袤差，半之，以加大廣，為廉法，從。開立方除之，即深。各加差，即合所問。
求均給積尺受廣、袤、深，術(shù)曰：如筑臺術(shù)入之。以斛法乘甲郡輸粟，為積尺。又三因，以深冪乘之，以廣差乘袤差而一，為實。深乘上廣，廣差而一，為上廣之高。深乘上袤，袤差而一，為上袤之高。上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以廣差乘之，本深除之，所得加上廣，即甲下廣。若求乙、丙、丁，每以前下廣、袤為后上廣、袤，以次皆準此求之，即得。若求人數(shù)，各以程功約當(dāng)郡積尺。
假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已運出五十石四斗。問：倉上下方、高及余粟深、上方各多少？
答曰：
上方三尺，
下方九尺，高一丈二尺；
余粟深、上方俱六尺。
求倉方、高，術(shù)曰：以斛法乘容粟，為積尺。又方差自乘，三而一，為隅陽冪。以乘截高，以減積，余為實。又方差乘截高，加隅陽冪，為方法。又置方差，加截高，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。
求余粟高及上方，術(shù)曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高冪，令方差冪而一，為實（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高與小高并）。高乘上方，方差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，得取出高。以減本高，余即殘粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本術(shù)曰：上下方相乘，又各自乘，并以高乘之，三而一。今還元，三之，又高冪乘之，差冪而一，得大小高相乘，又各自乘之?dāng)?shù)。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然則斯本下方自乘，故須高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之?dāng)?shù)。小高亦然。凡大高者，即是取高與小高并相連。今大高自乘為大方。大方之內(nèi)即有取高自乘冪一，隅頭小高自乘冪一。又其兩邊各有以取高乘小高，為冪二。又大小高相乘，為中方。中方之內(nèi)即有小高乘取高冪一。又小高自乘，即是小方之冪又一。則小高乘大高，又各自乘三等冪，皆以乘取高為立積。故三因小冪為方，及三小高為廉也）。
假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當(dāng)積三十六尺，限八日役。自穿筑，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？
答曰：
高四丈八尺，
上廣三丈六尺，
袤六丈六尺。
求甲縣均給積尺受廣、袤，術(shù)曰：以程功乘乙縣人數(shù)，又以限日乘之，為積尺。以六因之，又高冪乘之，又袤差乘廣而一，所得又半之，為實。高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。三因上袤之高，半之，為廉法，從。開立方除之，得乙高。以減甍高，余即甲高。求廣、袤，依率求之（此乙積本倍下袤，上袤從之。以下廣及高乘之，六而一，為一甍積。今還元須六因之，以高冪乘之，為實。袤差乘廣而一，得取高自乘以乘三上袤之高，則三小高為廉法，各以取高為方。仍有取高為立方者二，故半之，為立方一。又須半廉法）。假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗。問：殘粟去口、上下周、高各多少？
答曰：
一周一丈八尺，下周三丈，
高三丈六尺，
去口一丈八尺，
粟周二丈四尺。求圓囤上下周及高，術(shù)曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，為方亭之積。又以周差自乘，三而一，為隅陽冪。以乘截高，以減亭積，余為實。又周差乘截高，加隅陽冪，為方法。又以周差加截高，為廉法，從。開立方除之，得上周。加差，而合所問。
求粟去口，術(shù)曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高冪，如周差冪而一，為實。高乘上周，周差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，即去口（三十六乘訖，即是截方亭，與前方窖不別）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。
假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少于圓徑九寸，多于高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？
答曰：倉方四丈五尺三寸（容粟一萬二千七百二十二斛九斗五升八合），
窖徑四丈六尺二寸（容粟一萬三百九十七石七斗七升二合），高與深各一丈五尺五寸。
求方、徑高深，術(shù)曰：十四乘斛法，以乘粟數(shù)，二十五而一，為實。又倍多加少，以乘少數(shù)，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，為方法。又倍少數(shù)，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟為積尺。前一十四余，今還元，一十四乘。為徑自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故并之為二十五。凡此方、圓二徑長短不同，二徑各自乘為方，大小各別。然則此塹方二丈九尺八寸，塹徑三丈七寸，皆成方面。此應(yīng)塹方自乘，一十四乘之；塹徑自乘，一十一乘之，二十五而一，為隅冪，即方法也。但二隅冪皆以塹數(shù)為方面。今此術(shù)就省，倍小隅方，加差為矩袤，以差乘之為矩冪。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之?dāng)?shù)，即是方圓之隅同有此數(shù)，若二十五乘之，還須二十五除。直以差自乘加之，故不復(fù)乘除。又須倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，為廉法，不復(fù)二十五乘除之也）。還元，術(shù)曰：倉方自乘，以高乘之，為實。圓徑自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，為實。皆為斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。假令有粟一萬六千三百四十八石八斗，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少于圓徑一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？答曰：
方一丈八尺，
高深一丈三尺，
圓徑二丈八尺。術(shù)曰：以一十四乘斛法，以乘粟數(shù)，如八十九而一，為實。倍多加少，以乘少數(shù)，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，為方法。又倍少數(shù)，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟，為徑自乘及方自乘數(shù)與前同。今方倉四，即四因十四。圓窖三，即三因十一。并之，為八十九，而一。此塹徑一丈五尺，塹方五尺，以高為立方。自外意同前）。假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方于窖深二尺，少于倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問：方、徑、高、深各多少？
答曰：
方、徑各一丈六尺，
高一丈九尺，深一丈四尺。
術(shù)曰：三十五乘粟，二十五而一，為率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以減率，余為實。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，為方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，為廉法，從。開立方除之，即窖深。各加差，即方、徑、高（截高五尺，塹徑及方二尺，以深為立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘并多少乘之，為截高隅積，即二廉，方各二尺，長五尺。自外意旨皆與前同）。
假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面于圓徑等，兩深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問：方、徑、深各多少？
答曰：
上方、徑各七尺，
下方、徑各二丈八尺，
深各二丈一尺。
術(shù)曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，為方亭積。令方差自乘，三而一，為隅陽冪，以截多乘之，減積，余為實。以多乘差，加冪，為方法。多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，并以乘高，為虛。命三而一，為方亭積。若圓亭上下徑相乘，又各自乘，并以乘高，為虛。又十一乘之，四十二而一，為圓亭積。今方、圓二積并在一處，故以四十二復(fù)乘之，即得圓虛十一，方虛十四，凡二十五，而一，得一虛之積。又三除虛積，為方亭實。乃依方亭復(fù)問法，見上下方差及高差與積求上下方高術(shù)入之，故三乘，二十五而一）。
假令有粟二萬六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問上下方、深數(shù)各多少？
答曰：
方窖上方七尺，
下方二丈八尺，
深二丈一尺，
圓窖上下徑、深與方窖同。
術(shù)曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，為方亭積尺。令方差自乘，三而一，為隅陽冪。以多乘之，以減積，余為實。以多乘差，加冪，為方法。又以多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（今以四十二乘。圓虛十一者四，方虛十四者六，合一百二十八虛，除之，為一虛之積。得者仍三而一，為方亭實積。乃依方亭見差復(fù)問求之，故三乘，一百二十八除之）。假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多于句三十六十分之九。問：三事各多少？
答曰：
句十四二十分之七，
股四十九五分之一，
弦五十一四分之一。
術(shù)曰：冪自乘，倍多數(shù)而一，為實。半多數(shù)，為廉法，從。開立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除冪，即股（句股相乘冪自乘，與句冪乘股冪積等。故以倍句弦差而一，得一句與半差之共乘句冪，為方。故半差為廉法，從，開立方除之。按：此術(shù)原本不全，今依句股義擬補十三字）。
假令有句股相乘冪四千三十六五分之□，股少于弦六五分之一。問：弦多少？（按：此問原本缺二字，今依文補一股字，其股字上之□系所設(shè)分數(shù)，未便懸擬，今姑闕之）。答曰：弦一百一十四十分之七。
術(shù)曰：冪自乘，倍少數(shù)而一，為實。半少，為廉法，從。開立方除之，即股。加差，即弦。
假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？
答曰：九十二五分之二。
術(shù)曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實。又多數(shù)自乘，倍之，為方法。又置多數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差□□□□□為方令多再自乘半之為隅□□□□□橫虛二立廉□□□□□□□□□□□倍之為從隅□□□□□□□□□□□多為上廣即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。
案：此術(shù)脫簡既多，法亦煩擾，宜云冪自乘，多數(shù)而一，所得四之，為實。多為廉法，從。立方開之，得減差，半之，即股（冪自乘，與勾冪弦冪相乘積等。令勾冪變?yōu)楣上也⒊斯上也睿什疃?，所得乃股弦并乘弦冪）。假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。問：股多少?br>答曰：六十八。
術(shù)曰：冪自乘，倍少數(shù)而一，為立冪。又少數(shù)再自乘，半之，以減立冪，余為實。又少數(shù)自乘，倍之，為方法。又置少數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即句。加差，即弦。弦除冪，即股。假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？
答曰：股二十六五分之二。
術(shù)曰：冪自乘，為實。句自乘，為方法，從。開方除之，所得又開方，即股（□□□□□□□□□□□□□□數(shù)亦是股□□□□□□□□□□□□為長以股□□□□□□□□□□□□得股冪又開□□□□□□□□□□□股北分母?！?br>假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？
答曰：句八、五分之四。
術(shù)曰：冪自乘，為實。股自乘，為方法，從。開方除之，所得又開方，即句。
答曰：在斗四度七百分度之五百三十。
術(shù)曰（推朔夜半月度，新術(shù)不復(fù)加時日度，有定小余乃可用之）：以章歲減朔月行定分，余以乘朔日定小余，滿日法而一，為先行分。不盡者，半法已上收成一，已下者棄之。若先行分滿日行分而一，為度分，以減朔日夜半日所在度分，若度分不足減，加往宿度；其分不足減者，退一度為行分而減之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入歷當(dāng)月行定分，即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一，為度。凡日一日行一度。然則章歲者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均輸篇》有犬追兔術(shù)，與此術(shù)相似。彼問：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，問幾何步追及？答曰：二百五十步追及。彼術(shù)曰：以兔走減犬走，余者為法。又以犬走乘兔先走，為實。實如法而一，即得追及步數(shù)。此術(shù)亦然。何者？假令月行定分九千，章歲七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行數(shù)相減，余八千三百分者，是日先行之?dāng)?shù)。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一萬，即相及定分，此乃無對為數(shù)。其日法者，亦是相及之分。此又同數(shù)，為有八千三百，是先行分也。斯則異矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之時日在月前、月在日后，以日月相去之?dāng)?shù)四千一百五十減日行所在度分，即月夜半所在度分也）。
假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉(xiāng)，乙縣四十三鄉(xiāng)，每鄉(xiāng)別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉(xiāng)人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問：臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？
答曰：
臺高一十八丈
上廣七丈，
下廣九丈，
上袤一十丈，
下袤一十四丈；
甲縣給高四丈五尺，
上廣八丈五尺，下廣九丈，
上袤一十三丈，下袤一十四丈；
乙縣給高一十三丈五尺，
上廣七丈，下廣八丈五尺，
上袤一十丈，
下袤一十三丈；
羨道高一十八丈，
上廣三丈六尺，
下廣二丈四尺，
袤一十四丈；
甲縣鄉(xiāng)人給高九丈，
上廣三丈，
下廣二丈四尺，袤七丈；
乙縣鄉(xiāng)人給高九丈，上廣三丈六尺，下廣三丈，袤七丈。
術(shù)曰：以程功尺數(shù)乘二縣人，又以限日乘之，為臺積。又以上下袤差乘上下廣差，三而一，為隅陽冪。以乘截高，為隅陽截積。又半上下廣差，乘斬上袤，為隅頭冪。以乘截高，為隅頭截積。并二積，以減臺積，余為實。以上下廣差并上下袤差，半之，為正數(shù)，加截上袤，以乘截高，所得增隅陽冪加隅頭冪，為方法。又并截高及截上袤與正數(shù)，為廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得臺下廣及上下袤、高。
求均給積尺受廣袤，術(shù)曰：以程功尺數(shù)乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。三因之，又以高冪乘之，以上下廣差乘袤差而一，為實。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即乙高。以減本高，余即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙高，以本高而一，所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上廣、袤即乙下廣、袤，臺上廣、袤即乙上廣、袤。其后求廣、袤，有增損者，皆放此（此應(yīng)六因乙積，臺高再乘，上下廣差乘袤差而一。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。以上廣之高乘上袤之高，為小冪二。因下袤之高，為中冪一。凡下袤、下廣之高，即是截高與上袤與上廣之高相連并數(shù)。然此有中冪定有小冪一。又有上廣之高乘截高，為冪一。又下廣之高乘下袤之高，為大冪二。乘上袤之高為中冪一。其大冪之中又小冪一，復(fù)有上廣、上袤之高各乘截高，為中冪各一。又截高自乘，為冪一。其中冪之內(nèi)有小冪一。又上袤之高乘截高，為冪一。然則截高自相乘，為冪二，小冪六。又上廣、上袤之高各三，以乘截高，為冪六。令皆半之，故以三乘小冪。又上廣、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，諸冪乘截高為積尺）。
求羨道廣、袤、高，術(shù)曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉(xiāng)，又六因，為積。又以道上廣多下廣數(shù)加上廣少袤，為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，為下廣少高。以乘下廣少袤，為隅陽冪。又以下廣少上廣乘之，為鱉隅積。以減積，余三而一，為實。并下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下廣少高加之，為廉法，從。開立方除之，即下廣。加廣差，即上廣。加袤多上廣于上廣，即袤。加高多袤，即道高。求羨道均給積尺甲縣受廣、袤，術(shù)曰：以均賦常積乘甲縣上十三鄉(xiāng)，又六因，為積。以袤再乘之，以道上下廣差乘臺高為法而一，為實。又三因下廣，以袤乘之，如上下廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘甲袤，本袤而一，以下廣加之，即甲上廣。又以臺高乘甲袤，本袤除之，即甲高。假令筑堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少于西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多于東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當(dāng)四，下山六當(dāng)五，水行一當(dāng)二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，并每人一日自穿、運、筑程功，及堤上、下高、廣各幾何？
答曰：
一人一日自穿、運、筑程功四尺九寸六分；
西頭高三丈四尺一寸，
上廣八尺，
下廣七丈六尺二寸，
東頭高三尺一寸，上廣八尺，
下廣一丈四尺二寸，
正袤四十八丈，斜袤四十八丈一尺；
甲縣正袤一十九丈二尺，
斜袤一十九丈二尺四寸，
下廣三丈九尺，
高一丈五尺五寸；
乙縣正袤一十四丈四尺；
斜袤一十四丈四尺三寸，
下廣五丈七尺六寸，
高二丈四尺八寸；
丙縣正袤九丈六尺，
斜袤九丈六尺二寸，
下廣七尺，
高三丈一尺；
丁縣正袤四丈八尺，
斜袤四丈八尺一寸，
下廣七丈六尺二寸，
高三丈四尺一寸。
求人到程功運筑積尺，術(shù)曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟躕之間十加一，載輸一十四步，一返計一百二十四步。以古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，為實。卻以一返步為法。除，得自運土到數(shù)也。又以一到負土數(shù)乘之，卻以穿方一尺土數(shù)除之，得一人一日運動積。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土數(shù)除之，為法。除之，得穿用人數(shù)。復(fù)置運功積，以每人一日常積除之，得筑用人數(shù)。并之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。
求堤上、下廣及高、袤，術(shù)曰：一人一日程功乘總?cè)?，為堤積。以高差乘下廣差，六而一，為鱉冪。又以高差乘小頭廣差，二而一，為大臥塹頭冪。又半高差，乘上廣多東頭高之?dāng)?shù)，為小臥塹頭冪。并三冪，為大小塹鱉率。乘正袤多小高之?dāng)?shù)，以減堤積，余為實。又置半高差及半小頭廣差與上廣多小頭高之?dāng)?shù)，并三差，以乘正袤多小頭高之?dāng)?shù)。以加率為方法。又并正袤多小頭高、上廣多小高及半高差，兼半小頭廣差加之，為廉法，從。開方立除之，即小高。加差，即各得廣、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，并，而開方除之，即斜袤。求甲縣高、廣、正、斜袤，術(shù)曰：以程功乘甲縣人，以六因取積，又乘袤冪。以下廣差乘高差為法除之，為實。又并小頭上下廣，以乘小高，三因之，為垣頭冪。又乘袤冪，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，得小頭袤，即甲袤。又以下廣差乘之，所得以正袤除之，所得加?xùn)|頭下廣，即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤，以正袤除之，以加?xùn)|頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤東頭高減甲高，余自乘，并二位，以開方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣為后小高、主廉母自乘，為方母。廉母乘方母，為實母（此平堤在上，羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝，中一塹堵。今以袤再乘六因積，廣差乘袤差而一，得截鱉腝袤，再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因小頭下廣，大袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法。又并小頭上下廣，又三之，以乘小頭高為頭冪，意同六除。然此頭冪，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今還依數(shù)乘除一頭冪，為從。開立方除之，得截袤）。
求堤都積，術(shù)曰：置西頭高，倍之，加?xùn)|頭高，又并西頭上下廣，半而乘之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又并東頭上下廣，半而乘之。并二位積，以正袤乘之，六而一，得堤積也。
假令筑龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共筑。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。答曰：
高三丈，
上廣三丈四尺，下廣一丈八尺，
袤六丈六尺；
甲縣高一丈五尺，
袤三丈三尺，
上廣二丈一尺；
乙縣高二丈一尺，
袤一丈三尺二寸，
上廣二丈二尺二寸；
丙縣高三丈，袤一丈九尺八寸，
上廣二丈四尺。
求龍尾堤廣、袤、高，術(shù)曰：以程功乘總?cè)?，為堤積。又六因之，為虛積。以少高乘少袤，為隅冪。以少上廣乘之，為鱉隅積。以減虛積，余，三約之，所得為實。并少高、袤，以少上廣乘之，為鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又三除少上廣，以少袤、少高加之，為廉法，從。開立方除之，得下廣。加差，即高、廣、袤。
求逐縣均給積尺受廣、袤，術(shù)曰：以程功乘當(dāng)縣人，當(dāng)積尺。各六因積尺。又乘袤冪。廣差乘高，為法。除之，為實。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加末廣，即甲上廣。其甲上廣即乙末廣，其甲高即垣高。求實與都廉，如前。又并甲上下廣，三之，乘甲高，又乘袤冪，以法除之，得垣方，從。開立方除之，即乙袤。余放此（此龍尾猶羨除也。其塹堵一，鱉腝一，并而相連。今以袤再乘積，廣差乘高而一，所得截鱉腝袤再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法）。
假令穿河，袤一里二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土于河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、筑，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，并漘上廣各多少？
答曰：漘上廣五丈八尺二寸一分；
甲郡正袤一百四十四丈，
斜袤一百四十四丈三尺，
上廣二十六丈四寸，深一十一丈一尺六寸；乙郡正袤一百一十五丈二尺，
斜袤一百一十五丈四尺四寸，
上廣四十丈九尺二寸，
深一十八丈六尺；
丙郡正袤五十七丈六尺，斜袤五十七丈七尺二寸，
上廣四十八丈三尺六寸，
深二十二丈三尺二寸，
丁郡正袤二十八丈八尺，
斜袤二十八丈八尺六寸，上廣五十二丈八寸，
深二十四丈一尺八寸。
術(shù)曰：如筑堤術(shù)入之（覆堤為河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，為積。又六因，以乘袤冪。以上廣差乘深差，為法。除之，為實。又并小頭上、下廣，以乘小頭深，三之，為垣頭冪。又乘袤冪，以法除之，為垣方。三因小頭上廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，即得小頭袤，為甲袤。求深、廣，以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭上廣，即甲上廣。以小頭深減南頭深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而開方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、廣為后小深、廣，準甲求之，即得。
求漘上廣，術(shù)曰：以程功乘總?cè)耍忠韵奕粘酥?，為積。六因之，為實。以正袤除之，又以高除之，所得以下廣減之，余又半之，即漘上廣。
假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多于上廣一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負、筑，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？
答曰：
窖上廣八丈，
上袤九丈，
下廣一十丈，
下袤一十二丈，
深三丈；
甲郡八千七十二人，深一十二尺，下袤一十丈二尺，廣八丈八尺；
乙郡七千二百七十二人，
深九尺，
下袤一十一丈一尺，
廣九丈四尺；
丙郡五千四百七十三人，
深六尺，下袤一十一丈七尺，
廣九丈八尺；丁郡二千九百三十三人，
深三尺，
下袤一十二丈，
廣一十丈。求窖深、廣、袤，術(shù)曰：以斛法乘總粟，為積尺。又廣差乘袤差，三而一，為隅陽冪。乃置塹上廣，半廣差加之，以乘塹上袤，為隅頭冪。又半袤差，乘塹上廣，以隅陽冪及隅頭冪加之，為方法。又置塹上袤及塹上廣，并之，為大廣。又并廣差及袤差，半之，以加大廣，為廉法，從。開立方除之，即深。各加差，即合所問。
求均給積尺受廣、袤、深，術(shù)曰：如筑臺術(shù)入之。以斛法乘甲郡輸粟，為積尺。又三因，以深冪乘之，以廣差乘袤差而一，為實。深乘上廣，廣差而一，為上廣之高。深乘上袤，袤差而一，為上袤之高。上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以廣差乘之，本深除之，所得加上廣，即甲下廣。若求乙、丙、丁，每以前下廣、袤為后上廣、袤，以次皆準此求之，即得。若求人數(shù)，各以程功約當(dāng)郡積尺。
假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已運出五十石四斗。問：倉上下方、高及余粟深、上方各多少？
答曰：
上方三尺，
下方九尺，高一丈二尺；
余粟深、上方俱六尺。
求倉方、高，術(shù)曰：以斛法乘容粟，為積尺。又方差自乘，三而一，為隅陽冪。以乘截高，以減積，余為實。又方差乘截高，加隅陽冪，為方法。又置方差，加截高，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。
求余粟高及上方，術(shù)曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高冪，令方差冪而一，為實（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高與小高并）。高乘上方，方差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，得取出高。以減本高，余即殘粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本術(shù)曰：上下方相乘，又各自乘，并以高乘之，三而一。今還元，三之，又高冪乘之，差冪而一，得大小高相乘，又各自乘之?dāng)?shù)。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然則斯本下方自乘，故須高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之?dāng)?shù)。小高亦然。凡大高者，即是取高與小高并相連。今大高自乘為大方。大方之內(nèi)即有取高自乘冪一，隅頭小高自乘冪一。又其兩邊各有以取高乘小高，為冪二。又大小高相乘，為中方。中方之內(nèi)即有小高乘取高冪一。又小高自乘，即是小方之冪又一。則小高乘大高，又各自乘三等冪，皆以乘取高為立積。故三因小冪為方，及三小高為廉也）。
假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當(dāng)積三十六尺，限八日役。自穿筑，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？
答曰：
高四丈八尺，
上廣三丈六尺，
袤六丈六尺。
求甲縣均給積尺受廣、袤，術(shù)曰：以程功乘乙縣人數(shù)，又以限日乘之，為積尺。以六因之，又高冪乘之，又袤差乘廣而一，所得又半之，為實。高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。三因上袤之高，半之，為廉法，從。開立方除之，得乙高。以減甍高，余即甲高。求廣、袤，依率求之（此乙積本倍下袤，上袤從之。以下廣及高乘之，六而一，為一甍積。今還元須六因之，以高冪乘之，為實。袤差乘廣而一，得取高自乘以乘三上袤之高，則三小高為廉法，各以取高為方。仍有取高為立方者二，故半之，為立方一。又須半廉法）。假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗。問：殘粟去口、上下周、高各多少？
答曰：
一周一丈八尺，下周三丈，
高三丈六尺，
去口一丈八尺，
粟周二丈四尺。求圓囤上下周及高，術(shù)曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，為方亭之積。又以周差自乘，三而一，為隅陽冪。以乘截高，以減亭積，余為實。又周差乘截高，加隅陽冪，為方法。又以周差加截高，為廉法，從。開立方除之，得上周。加差，而合所問。
求粟去口，術(shù)曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高冪，如周差冪而一，為實。高乘上周，周差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，即去口（三十六乘訖，即是截方亭，與前方窖不別）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。
假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少于圓徑九寸，多于高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？
答曰：倉方四丈五尺三寸（容粟一萬二千七百二十二斛九斗五升八合），
窖徑四丈六尺二寸（容粟一萬三百九十七石七斗七升二合），高與深各一丈五尺五寸。
求方、徑高深，術(shù)曰：十四乘斛法，以乘粟數(shù)，二十五而一，為實。又倍多加少，以乘少數(shù)，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，為方法。又倍少數(shù)，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟為積尺。前一十四余，今還元，一十四乘。為徑自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故并之為二十五。凡此方、圓二徑長短不同，二徑各自乘為方，大小各別。然則此塹方二丈九尺八寸，塹徑三丈七寸，皆成方面。此應(yīng)塹方自乘，一十四乘之；塹徑自乘，一十一乘之，二十五而一，為隅冪，即方法也。但二隅冪皆以塹數(shù)為方面。今此術(shù)就省，倍小隅方，加差為矩袤，以差乘之為矩冪。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之?dāng)?shù)，即是方圓之隅同有此數(shù)，若二十五乘之，還須二十五除。直以差自乘加之，故不復(fù)乘除。又須倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，為廉法，不復(fù)二十五乘除之也）。還元，術(shù)曰：倉方自乘，以高乘之，為實。圓徑自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，為實。皆為斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。假令有粟一萬六千三百四十八石八斗，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少于圓徑一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？答曰：
方一丈八尺，
高深一丈三尺，
圓徑二丈八尺。術(shù)曰：以一十四乘斛法，以乘粟數(shù)，如八十九而一，為實。倍多加少，以乘少數(shù)，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，為方法。又倍少數(shù)，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟，為徑自乘及方自乘數(shù)與前同。今方倉四，即四因十四。圓窖三，即三因十一。并之，為八十九，而一。此塹徑一丈五尺，塹方五尺，以高為立方。自外意同前）。假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方于窖深二尺，少于倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問：方、徑、高、深各多少？
答曰：
方、徑各一丈六尺，
高一丈九尺，深一丈四尺。
術(shù)曰：三十五乘粟，二十五而一，為率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以減率，余為實。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，為方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，為廉法，從。開立方除之，即窖深。各加差，即方、徑、高（截高五尺，塹徑及方二尺，以深為立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘并多少乘之，為截高隅積，即二廉，方各二尺，長五尺。自外意旨皆與前同）。
假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面于圓徑等，兩深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問：方、徑、深各多少？
答曰：
上方、徑各七尺，
下方、徑各二丈八尺，
深各二丈一尺。
術(shù)曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，為方亭積。令方差自乘，三而一，為隅陽冪，以截多乘之，減積，余為實。以多乘差，加冪，為方法。多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，并以乘高，為虛。命三而一，為方亭積。若圓亭上下徑相乘，又各自乘，并以乘高，為虛。又十一乘之，四十二而一，為圓亭積。今方、圓二積并在一處，故以四十二復(fù)乘之，即得圓虛十一，方虛十四，凡二十五，而一，得一虛之積。又三除虛積，為方亭實。乃依方亭復(fù)問法，見上下方差及高差與積求上下方高術(shù)入之，故三乘，二十五而一）。
假令有粟二萬六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問上下方、深數(shù)各多少？
答曰：
方窖上方七尺，
下方二丈八尺，
深二丈一尺，
圓窖上下徑、深與方窖同。
術(shù)曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，為方亭積尺。令方差自乘，三而一，為隅陽冪。以多乘之，以減積，余為實。以多乘差，加冪，為方法。又以多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（今以四十二乘。圓虛十一者四，方虛十四者六，合一百二十八虛，除之，為一虛之積。得者仍三而一，為方亭實積。乃依方亭見差復(fù)問求之，故三乘，一百二十八除之）。假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多于句三十六十分之九。問：三事各多少？
答曰：
句十四二十分之七，
股四十九五分之一，
弦五十一四分之一。
術(shù)曰：冪自乘，倍多數(shù)而一，為實。半多數(shù)，為廉法，從。開立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除冪，即股（句股相乘冪自乘，與句冪乘股冪積等。故以倍句弦差而一，得一句與半差之共乘句冪，為方。故半差為廉法，從，開立方除之。按：此術(shù)原本不全，今依句股義擬補十三字）。
假令有句股相乘冪四千三十六五分之□，股少于弦六五分之一。問：弦多少？（按：此問原本缺二字，今依文補一股字，其股字上之□系所設(shè)分數(shù)，未便懸擬，今姑闕之）。答曰：弦一百一十四十分之七。
術(shù)曰：冪自乘，倍少數(shù)而一，為實。半少，為廉法，從。開立方除之，即股。加差，即弦。
假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？
答曰：九十二五分之二。
術(shù)曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實。又多數(shù)自乘，倍之，為方法。又置多數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差□□□□□為方令多再自乘半之為隅□□□□□橫虛二立廉□□□□□□□□□□□倍之為從隅□□□□□□□□□□□多為上廣即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。
案：此術(shù)脫簡既多，法亦煩擾，宜云冪自乘，多數(shù)而一，所得四之，為實。多為廉法，從。立方開之，得減差，半之，即股（冪自乘，與勾冪弦冪相乘積等。令勾冪變?yōu)楣上也⒊斯上也睿什疃?，所得乃股弦并乘弦冪）。假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。問：股多少?br>答曰：六十八。
術(shù)曰：冪自乘，倍少數(shù)而一，為立冪。又少數(shù)再自乘，半之，以減立冪，余為實。又少數(shù)自乘，倍之，為方法。又置少數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即句。加差，即弦。弦除冪，即股。假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？
答曰：股二十六五分之二。
術(shù)曰：冪自乘，為實。句自乘，為方法，從。開方除之，所得又開方，即股（□□□□□□□□□□□□□□數(shù)亦是股□□□□□□□□□□□□為長以股□□□□□□□□□□□□得股冪又開□□□□□□□□□□□股北分母?！?br>假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？
答曰：句八、五分之四。
術(shù)曰：冪自乘，為實。股自乘，為方法，從。開方除之，所得又開方，即句。