九章算術(shù)卷第四 少廣
作者：古本晉劉徽注少廣術(shù)曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左。命通分者，又以分母遍乘諸分子，及已通者皆通而同之，并之為法。置所求步數(shù)，以全步積分乘之為實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。
〔一〕今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百六十步。
術(shù)曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，并之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔二〕今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。
術(shù)曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，并之得一十一為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔三〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？荅曰：一百一十五步、五分步之一。
術(shù)曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，并之得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。
〔四〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
術(shù)曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，并之得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔五〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。
術(shù)曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，并之得二百九十四以為法。置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔六〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。
術(shù)曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十，四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，并之得一千八十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔七〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。
術(shù)曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十，四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一為一百二十，八分之一為一百五，并之得二千二百八十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八百四十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔八〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
術(shù)曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，并之得七千一百二十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔九〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術(shù)曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，并之得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔一０〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：七十九步、八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術(shù)曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，并之得八萬三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔一一〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：七十七步、八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。
術(shù)曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十，三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，并之得二十五萬八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔一二〕今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
荅曰：二百三十五步。
〔一三〕又有積二萬五千二百八十一步。問為方幾何？
荅曰：一百五十九步。
〔一四〕又有積七萬一千八百二十四步。問為方幾何？
荅曰：二百六十八步?！惨晃濉秤钟蟹e五十六萬四千七百五十二步、四分步之一。問為方幾何？
荅曰：七百五十一步半。
〔一六〕又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何？荅曰：六萬三千二十五步。
開方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復(fù)除。折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除折下如前。若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。乃開之，訖，開其母報(bào)除。若母不可開者，又以母乘定實(shí)，乃開之，訖，令如母而一。
〔一七〕今有積一千五百一十八步、四分步之三。問為圓周幾何？
荅曰：一百三十五步。
〔一八〕今有積三百步。問為圓周幾何？
荅曰：六十步。
開圓術(shù)曰：置積步數(shù)，以十二乘之，以開方除之，即得周。
〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？荅曰：一百二十三尺。
〔二０〕今有積一千九百五十三尺、八分尺之一。問為立方幾何？
荅曰：一十二尺半。
〔二一〕今有積六萬三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。問為立方幾何？
荅曰：三十九尺、八分尺之七。
〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？
荅曰：一百二十四尺、太半尺。
開立方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復(fù)除，折而下。以三乘所得數(shù)置中行。復(fù)借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復(fù)除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。定實(shí)乃開之，訖，開其母以報(bào)除。若母不可開者，又以母再乘定實(shí)，乃開之。訖，令如母而一。
〔二三〕今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？荅曰：二十尺。
〔二四〕又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？
荅曰：一萬四千三百尺。
開立圓術(shù)曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。
〔一〕今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百六十步。
術(shù)曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，并之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔二〕今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。
術(shù)曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，并之得一十一為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔三〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問從幾何？荅曰：一百一十五步、五分步之一。
術(shù)曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，并之得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。
〔四〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
術(shù)曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，并之得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔五〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。
術(shù)曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，并之得二百九十四以為法。置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔六〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。
術(shù)曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十，四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，并之得一千八十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔七〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。
術(shù)曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十，四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一為一百二十，八分之一為一百五，并之得二千二百八十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八百四十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔八〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
術(shù)曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，并之得七千一百二十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔九〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術(shù)曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，并之得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔一０〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：七十九步、八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術(shù)曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，并之得八萬三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔一一〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？
荅曰：七十七步、八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。
術(shù)曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十，三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，并之得二十五萬八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。
〔一二〕今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
荅曰：二百三十五步。
〔一三〕又有積二萬五千二百八十一步。問為方幾何？
荅曰：一百五十九步。
〔一四〕又有積七萬一千八百二十四步。問為方幾何？
荅曰：二百六十八步?！惨晃濉秤钟蟹e五十六萬四千七百五十二步、四分步之一。問為方幾何？
荅曰：七百五十一步半。
〔一六〕又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何？荅曰：六萬三千二十五步。
開方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復(fù)除。折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除折下如前。若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。乃開之，訖，開其母報(bào)除。若母不可開者，又以母乘定實(shí)，乃開之，訖，令如母而一。
〔一七〕今有積一千五百一十八步、四分步之三。問為圓周幾何？
荅曰：一百三十五步。
〔一八〕今有積三百步。問為圓周幾何？
荅曰：六十步。
開圓術(shù)曰：置積步數(shù)，以十二乘之，以開方除之，即得周。
〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？荅曰：一百二十三尺。
〔二０〕今有積一千九百五十三尺、八分尺之一。問為立方幾何？
荅曰：一十二尺半。
〔二一〕今有積六萬三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。問為立方幾何？
荅曰：三十九尺、八分尺之七。
〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？
荅曰：一百二十四尺、太半尺。
開立方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復(fù)除，折而下。以三乘所得數(shù)置中行。復(fù)借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復(fù)除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。定實(shí)乃開之，訖，開其母以報(bào)除。若母不可開者，又以母再乘定實(shí)，乃開之。訖，令如母而一。
〔二三〕今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？荅曰：二十尺。
〔二四〕又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？
荅曰：一萬四千三百尺。
開立圓術(shù)曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。